Задачи Фибоначчи

Задачи Фибоначчи

Оставаясь верным математическим турнирам, основную роль в своих книгах Фибоначчи отводит задачам, их решениям и комментариям. Задачи на турниры предлагал как сам Фибоначчи, так и его соперник, придворный философ Фридриха II Иоган Палермский. Задачи Фибоначчи, или их аналоги, продолжали использовать в различных математических учебниках несколько столетий. Их можно встретить в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), в «Арифметике» Магницкого (1703), в «Алгебре» Эйлера (1768).

Задача о размножении кроликов

В место, огороженное со всех сторон стеной, поместили пару кроликов, природа которых такова, что любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год (Ответ: 377 пар)? Для поиска ответа используется рекуррентная числовая последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … (по ней составлена последовательность A000045 в OEIS; отличие в том, что вторая последовательность начинается с нуля и единицы, а не с единицы и двойки), в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих; ответом, в соответствии с условиями задачи, является тринадцатый член. В честь учёного она носит название чисел Фибонначи. Числа Фибоначчи нашли своё применение во многих областях математики. Одним из важных свойств последовательности является тот факт, что предел отношения  к  равен золотому сечению. Наглядно формирование последовательности можно показать следующим образом:

1 + 1 = 2
    1 + 2 = 3
        2 + 3 = 5
            3 + 5 = 8
                5 + 8 = 13
                    8 + 13 = 21
                        13 + 21 = 34
                             21 + 34 = 55
                                  34 + 55 = 89
                                          и т.д...

Задачи о гирях

Задача о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах впервые была сформулирована именно Фибоначчи. Леонардо Пизанский предлагает два варианта задачи:

• • Простой вариант: требуется найти пять гирь, с помощью которых можно найти все веса меньше 30, при этом гири можно класть только на одну чашу весов (Ответ: 1, 2, 4, 8, 16). Решение строится в двоичной системе счисления.
  • Сложный вариант: требуется найти наименьшее число гирь, с помощью которого можно взвесить все веса меньше заданного (Ответ: 1, 3, 9, 27, 81,…). Решение строится в системе счисления по основанию три и в общем случае представляет собой последовательность A009244 в OEIS.

Задачи по теории чисел

Кроме задачи о кроликах, Фибоначчи предлагал ряд других задач по теории чисел:

• Найти число, которое делится на 7 и даёт в остатке единицу при делении на 2, 3, 4, 5 и 6;
• Найти число, произведение которого с семёркой даёт остатки 1, 2, 3, 4, 5 при делении на 2, 3, 4, 5, 6, соответственно;
• Найти квадратное число, которое при увеличении или уменьшении на 5 давало бы квадратное число.

Задача про "Рыцарей и лжецов".